Józef Skwark urodził się 1 stycznia 1938 roku w Balicach. W 1961 roku ukończył studia na Wydziale Aktorskim Państwowej Wyższej Szkoły Filmowej, Telewizyjnej i Teatralnej im. Leona Schillera w Łodzi. Debiutował w 1960 roku na scenie Teatru Powszechnego w Łodzi rolą Puka w inscenizacji „Snu nocy letniej” Williama Shakespeare'a w Teatrze Powszechnym w Łodzi. Popularność przyniosła mu jednak główna rola Adama Cisowskiego w filmie "Szatan z siódmej klasy", gdzie zagrał i boku Poli Raksy. Po premierze stał się prawdziwym idolem nastolatek. Młodemu aktorowi wróżono karierę filmową, jednak Józef Skwark wybrał teatr i reżyserię.
Józef Skwark przez całe życie zawodowe był związany z wieloma teatrami w Polsce, m.in. z Teatrem Polskim w Poznaniu, Teatrem im. Juliusza Słowackiego w Krakowie, Bałtyckim Teatrem Dramatycznym w Koszalinie, Teatrem Dramatycznym w Białymstoku, Teatrem im. Stefana Żeromskiego w Kielcach i Teatrem Narodowym w Warszawie.
Po "Szatanie z siódmej klasy", który przyniósł mu popularność, Józef Skwark nie zagrał już w żadnym filmie. W ostatnich latach można było go jednak zobaczyć w kilku popularnych serialach, m.in. w "Klanie", "Plebanii" i "Pierwszej miłości".
Pogrzeb Józefa Skwarka odbył się w poniedziałek 5 grudnia 2022 o godz. 13.00 w kościele Środowisk Twórczych przy pl. Teatralnym. Złożenieprochów nastąpiło na cmentarzu Ewangelicko-Reformowanym przy ul. Żytniej 42 w Warszawie.